นวัตกรรมและสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

           http://teaching-maths3.blogspot.com (2553) ได้รวบรวมข้อมูลไว้ว่า 

ความหมายของสื่อการเรียนการสอน

          สื่อการสอน คือ วัสดุ อุปกรณ์ เครื่องมือ รวมทั้งวิธีการสอน ซึ่งเป็นตัวกลางในการถ่ายทอดความรู้ ทักษะและประสบการให้กับผู้เรียนอย่างมีประสิทธิภาพ

ความสำคัญของสื่อการเรียนการสอน

          ในการที่ครูจะถ่ายทอดความรู้ให้กับนักเรียนนั้นจะต้องอาศัยวิธีการหลายๆอย่าง เพราะปัจจุบันครูไม่ใช่แค่ผู้บอก ครูเพียงเป็นผู้แนะแนวทาง ที่จะให้นักเรียนได้คิดค้นด้วยตนเอง การที่ใช้รูปธรรมเข้าช่วยนั้นจะทำให้นักเรียนเข้าใจยิ่งขึ้น สื่อการเรียนการสอนนั้นมีความสำคัญดังนี้

ยุพิน พิพิธกุล(2530 :282-283) ได้กล่าวสรุปถึงความสำคัญของสื่อการสอน ดังนี้

1.ในการสอนนั้นจะต้องให้นักเรียนได้รับประสบการณ์หลายๆด้าน สื่อการเรียนการสอนจะช่วยให้เข้าใจแจ่มแจ้งยิ่งขึ้น

2.เนื่องจากนักเรียนมีความสามารถแตกต่างกัน นักเรียนบางคนใช้เพียงการอธิบายก็เข้าใจ แต่บางคนต้องให้ดูรูปภพ ดูวัสดุประกอบจึงจะเข้าใจได้

3.เพื่อให้นักเรียนเกิดความสนใจและประหยัดเวลาในการสอน

4.เพื่อให้นักเรียนได้เรียนรู้จากสิ่งที่เป็นรูปธรรม ทำให้เกิดความเข้าใจแน่นแฟ้นและจำไปใช้ ได้นาน

5.เพื่อเสริมสร้างเจตคติที่ดีแก่นักเรียนและทำให้นักเรียนเกิดความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

6.การที่จะทำให้นักเรียนเกิดความสนใจได้นั้น ครูควรจะเปิดโอกาสให้นักเรียนได้มีส่วนร่วมในการทำและใช้สื่อการเรียนการสอนนั้นๆ

ประเภทของสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

          เพื่อให้ครูคณิตศาสตร์ได้เลือกสื่อการสอนตามวามเหมาะสมแก่สภาพท้องถิ่น สภาพโรงเรียน และเป็นไปด้วยความประหยัด สื่อการเรียนการสอนนั้นจะเป็นอะไรก็ได้ที่สามารถทำให้นักเรียนเกิด การเรียนรู้ ซึ่ง ยุพิน พิพิธกุล (2524 : 283 - 284) ได้กล่าวถึงสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ไว้ ดังนี้

1.วัสดุ แบ่งออกได้ดังนี้ คือ

          ก. วัสดุประกอบการสอนประเภทสิ่งพิมพ์ ซึ่งได้แก่ แบบเรียน คู่มือครู โครงการสอน เอกสารประกอบการสอน วารสาร จุลสาร บทเรียนแบบโปรแกรม เอกสารแนะแนวทาง เป็นต้น

          ข. วัสดุประดิษฐ์ เป็นสิ่งที่ครูทำขึ้นเอง จะใช้กระดาษ ไม้ พลาสติก และสิ่งอื่นๆ ที่ครูประดิษฐ์ขึ้นใช้ประกอบการสอน เช่นกระดาษทำรูปทรงต่างๆทางเรขาคณิต เป็นต้นว่า รูปกรวย ปริซึม พีระมิด ชุดการสอน ภาพเขียน ภาพโปร่งใส ภาพถ่าย แผนภูมิ บัตรคำ กระเป๋าผนัง แผนภาพพลิก กระดานตะปู

          ค. วัสดุถาวร ได้แก่ กระดานดำ กระดานนิเทศ กระดานกราฟ ของจริง ของจำลอง ของตัวอย่าง เทปบันทึกภาพ เทปเสียง โปสเตอร์ แผนที่ แผ่นเสียง ฟีล์มสตริป

          ง. วัสดุสิ้นเปลือง ชอร์ก สไลด์ ฟีล์ม ฯลฯ

2.อุปกรณ์ สื่อการเรียนการสอนประเภทอุปกรณ์ที่ใช้กันมากคือ เครื่องฉายภาพข้ามศีรษะ ซึ่งใช้กับแผ่น

โปร่งใส เครื่องขยายสไลด์และฟีล์มสตริป เครื่องเสียง จอฉายภาพ ฯลฯ

3. กิจกรรม การจัดกิจกรรมต่างๆเป็นสื่อการสอนเช่นเดียวกัน เช่น การทดลอง การจัดนิทรรศการ การเล่นละคร การเล่าเรียน การศึกษานอกสถานที่ การสาธิต การทำโครงงาน การร้องเพลง คำประพันธ์ประเภทร้อยกรอง (กลอน กาพย์ โคลง ฯลฯ) เกมปริศนา

4.สิ่งแวดล้อม เป็นสื่อการสอนที่หาได้ง่าย เช่น เครื่องใช้ในชีวิตประจำวัน ครูควรแสวงหาสิ่งที่อยู่รอบๆตัวเรามาใช้ เพื่อเป็นการประหยัด สื่อการเรียนการสอนนั้น ไม่จำเป็นจะต้องมีราคาแพง แม้แต่ตัวคนหรือนักเรียนเองก็ถือว่าเป็นสื่อการเรียนการสอน นอกจากนั้น พวกประเภทของจริงก็ใช้ได้ เช่น ใช้ผลไม้มาแบ่งเพื่อสอนเรื่องเศษส่วน เป็นต้น

แนวทางการผลิตและเลือกสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์

          สมชาย ลีลานิตย์กุล (2553 : 79) ได้ให้แนวทางในการผลิตและเลือกสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ไว้ดังนี้

1.ต้องผลิตสื่อตามเนื้อหาที่ผ่านการวิเคราะห์แล้ว โดยกำหนดเป็นหน่วยที่แยกย่อยลงไปจนถึงหนึ่งหน่วยต่อการสอน 1 ครั้ง

2.ควรผลิตและเลือกสื่อการสอนในลักษณะที่มีสื่อมาประกอบกันเป็นชุดการสอน 1 ชุด สำหรับการสอน 1 ครั้ง โดยมีชุดอุปกรณ์ประกอบด้วย

3.ต้องตระหนักอยู่เสมอว่า การสอนคณิตศาสตร์ทำไม่ได้เพียงด้วยการพูดให้ฟัง ดังนั้นจึงควรผลิตและใช้สื่อการสอนในทุกโอกาสที่จะทำได้

4.การผลิตและเลือกสื่อการสอน ควรคำนึงถึงธรรมชาติของสื่อในการที่จะช่วยสร้างประสบการณ์ รูปธรรมให้ ผู้เรียนมากที่สุด ทั้งที่เป็นสื่อที่สามารถหาได้ในท้องถิ่น เช่น เมล็ดพืช ก้อนกรวด ก้อนหิน ฯลฯ และสื่อที่มีผู้ผลิตจำหน่าย เช่น ไม้บล็อก หรือภาพยนตร์ที่แสดงให้เห็นการเกิดรูปทรงต่าง ๆ โดยเทคนิคการสร้างภาพเคลื่อนไหวเข้าช่วย

5.การเรียนคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการฝึกฝน การฝึกฝนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จึงเป็นกิจกรรมที่ต้องบูรณาการเข้าไปเป็นส่วนหนึ่งของการผลิตสื่อการสอนคณิตศาสตร์

6.ก่อนผลิตและเลือกสื่อการสอนคณิตศาสตร์ ครูควรได้ศึกษาวิธีการจากระบบสื่อการสอน คณิตศาสตร์ที่มีผู้คิดขึ้นแล้ว เพื่อเป็นแนวทางในการผลิตสื่อ

           http://mamay3naja.wixsite.com/jutatip305/services1  ได้กล่าวถึงความหมายและรวบรวมตัวอย่างไว้ดังนี้
ความหมายของ"นวัตกรรมการศึกษา"
  “นวัตกรรม” หมายถึงความคิด การปฏิบัติ หรือสิ่งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ที่ยังไม่เคยมีใช้มาก่อน หรือเป็นการพัฒนาดัดแปลงมาจากของเดิมที่มีอยู่แล้ว ให้ทันสมัยและใช้ได้ผลดียิ่งขึ้น เมื่อนำ นวัตกรรมมาใช้จะช่วยให้การทำงานนั้นได้ผลดีมีประสิทธิภาพและประสิทธิผลสูงกว่าเดิม ทั้งยังช่วย ประหยัดเวลาและแรงงานได้ด้วย
 “นวัตกรรม” (Innovation) มีรากศัพท์มาจาก innovare ในภาษาลาติน แปลว่า ทำสิ่งใหม่ขึ้นมา
ความหมายของนวัตกรรมในเชิงเศรษฐศาสตร์คือ การนำแนวความคิดใหม่หรือการใช้ประโยชน์จากสิ่งที่มีอยู่แล้วมาใช้ในรูปแบบใหม่ เพื่อทำให้เกิดประโยชน์ทางเศรษฐกิจ หรือก็คือ ”การทำในสิ่งที่แตกต่างจากคนอื่น โดยอาศัยการเปลี่ยนแปลงต่าง ๆ (Change) ที่เกิดขึ้นรอบตัวเราให้กลายมาเป็นโอกาส (Opportunity) และถ่ายทอดไปสู่แนวความคิดใหม่ที่ทำให้เกิดประโยชน์ต่อตนเองและสังคม”
“นวัตกรรมทางการศึกษา” (Educational Innovation) หมายถึง การนำเอาสิ่งใหม่ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปของความคิดหรือการกระทำ รวมทั้งสิ่งประดิษฐ์ก็ตามเข้ามาใช้ในระบบการศึกษา เพื่อมุ่งหวังที่จะเปลี่ยนแปลงสิ่งที่มีอยู่เดิมให้ระบบการจัดการศึกษามีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น ทำให้ผู้เรียนสามารถเกิดการเรียนรู้ได้อย่างรวดเร็วเกิดแรงจูงใจในการเรียน และช่วยให้ประหยัดเวลาในการเรียน เช่น การสอนโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสอน การใช้วีดิทัศน์เชิงโต้ตอบ(Interactive Video) สื่อหลายมิติ (Hypermedia) และอินเตอร์เน็ต เหล่านี้เป็นต้น     
นวัตกรรมและเทคโนโลยีสารสนเทศสำหรับครูคณิตศาสตร์

 ความหมายของ"นวัตกรรมการศึกษา"
  “นวัตกรรม” หมายถึงความคิด การปฏิบัติ หรือสิ่งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ที่ยังไม่เคยมีใช้มาก่อน หรือเป็นการพัฒนาดัดแปลงมาจากของเดิมที่มีอยู่แล้ว ให้ทันสมัยและใช้ได้ผลดียิ่งขึ้น เมื่อนำ นวัตกรรมมาใช้จะช่วยให้การทำงานนั้นได้ผลดีมีประสิทธิภาพและประสิทธิผลสูงกว่าเดิม ทั้งยังช่วย ประหยัดเวลาและแรงงานได้ด้วย
 “นวัตกรรม” (Innovation) มีรากศัพท์มาจาก innovare ในภาษาลาติน แปลว่า ทำสิ่งใหม่ขึ้นมา
ความหมายของนวัตกรรมในเชิงเศรษฐศาสตร์คือ การนำแนวความคิดใหม่หรือการใช้ประโยชน์จากสิ่งที่มีอยู่แล้วมาใช้ในรูปแบบใหม่ เพื่อทำให้เกิดประโยชน์ทางเศรษฐกิจ หรือก็คือ ”การทำในสิ่งที่แตกต่างจากคนอื่น โดยอาศัยการเปลี่ยนแปลงต่าง ๆ (Change) ที่เกิดขึ้นรอบตัวเราให้กลายมาเป็นโอกาส (Opportunity) และถ่ายทอดไปสู่แนวความคิดใหม่ที่ทำให้เกิดประโยชน์ต่อตนเองและสังคม”
“นวัตกรรมทางการศึกษา” (Educational Innovation) หมายถึง การนำเอาสิ่งใหม่ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปของความคิดหรือการกระทำ รวมทั้งสิ่งประดิษฐ์ก็ตามเข้ามาใช้ในระบบการศึกษา เพื่อมุ่งหวังที่จะเปลี่ยนแปลงสิ่งที่มีอยู่เดิมให้ระบบการจัดการศึกษามีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น ทำให้ผู้เรียนสามารถเกิดการเรียนรู้ได้อย่างรวดเร็วเกิดแรงจูงใจในการเรียน และช่วยให้ประหยัดเวลาในการเรียน เช่น การสอนโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยสอน การใช้วีดิทัศน์เชิงโต้ตอบ(Interactive Video) สื่อหลายมิติ (Hypermedia) และอินเตอร์เน็ต เหล่านี้เป็นต้น

ตัวอย่างนวัตกรรมทางการศึกษาที่นำมาใช้ในการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์
1. โปรเเกรม GSP
ย่อมาจาก Geometers Sketchpad ยังเป็นของใหม่ในวงการศึกษาไทย แต่กว่า 60 ประเทศทั่วโลกเขาใช้กันแล้ว โดยแปลเป็นภาษาต่างๆ หากรวมภาษาไทยด้วยก็ 16 ภาษา
GSP เป็นโปรแกรมที่ครูสามารถนำไปใช้เป็นเครื่องมือเพื่อช่วยให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพและน่าสนใจมาก สามารถนำเสนอภาพเคลื่อนไหว (Animation) มาใช้อธิบาย เนื้อหาที่ยากๆ เช่น ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติ แคลคูลัส), ฟิสิกส์ (กลศาสตร์ และอื่นๆ ) ให้เป็นรูปธรรม ให้นักเรียนได้เรียนรู้และเข้าใจง่าย และโปรแกรมยังเน้นให้ผู้เรียนฝึกปฏิบัติด้วยตัวเองได้ นอกจากนี้ ยังสามารถนำไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนวิชาอื่นๆ เช่น วิทยาศาสตร์ ศิลปะ อย่างไม่มีข้อจำกัด
โปรแกรม GSP พัฒนาขึ้นโดยบริษัท Key Curriculum Press ตั้งแต่ปี ค.ศ.1991 และพัฒนาขึ้นเรื่อยๆ จนถึงเวอร์ชั่น 4.0 โรงเรียนต่างๆ ในสหรัฐอเมริกาใช้โปรแกรมนี้สอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมากที่สุด และในหลายๆ ประเทศทั่วโลก อาทิ แคนาดา สหราชอาณาจักร สิงคโปร์ มาเลเซีย ไต้หวัน ฮ่องกง เดนมาร์ก ญี่ปุ่น ออสเตรเลีย ได้ใช้โปรแกรมนี้อย่างแพร่หลาย ในส่วนของประเทศไทยนั้นได้ลงนามในพิธีครองลิขสิทธิ์การใช้ซอฟต์แวร์ GSP เวอร์ชั่น 4.0  ณ โรงแรม อิมพีเรียล ควีนส์ปาร์ค กรุงเทพมหานคร
โปรแกรมนี้ทำให้ครูและนักเรียนมีเวลาในการเรียนการสอนมากขึ้น เพราะไม่ต้องเสียเวลานานในการสร้างรูป เรขาคณิตจำนวนมากเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ อีกทั้งยังทบทวนได้ง่ายและบ่อยขึ้น การสอนด้วยโปรแกรม GSP ยังทำให้นักเรียนเรียนได้สนุก เข้าใจได้เร็ว และน่าตื่นเต้น นอกจากนั้น การใช้ GSP สร้างสื่อการสอนและใบงาน ยังทำได้รวดเร็วและแม่นยำกว่าใช้โปรแกรมไมโครซอฟต์ออฟฟิศอื่นๆ  GSP สามารถสร้าง เกมสนุกๆ ทางคณิตศาสตร์ ได้มากมาย ดังที่ปรากฏในหนังสือ 101 Project Ideas for The Geometers Sketchpad ยกตัวอย่างเช่น เด็กๆ จะได้สนุกกับการสร้างใบหน้าคนจากเส้นโค้ง เส้นตรง วงกลม สี่เหลี่ยม ที่แสดงอารมณ์ปกติและอารมณ์โกรธ และทดลองสร้างภาพด้วยตัวเอง นอกจากนั้น นักออกแบบโปรแกรม GSP ยังใช้สร้างแผนภาพ รูปร่าง รูปทรงสามมิติได้มากมาย

2. โปรเเกรม Science Teacher"s Helper (โปรแกรม แก้ไข สูตรคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์)

เป็นโปรแกรมแก้ไข สูตรคณิตศาสตร์ หรือแก้ไข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เป็นโปรแกรม Add-On สำหรับ Microsoft Word มันถูกออกแบบมาเพื่อวัตถุประสงค์เดียวเท่านั้นครับ คือ ช่วยคุณประหยัดเวลาในการเขียนหรือแก้ไข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์, เคมีและฟิสิกส์ในเอกสาร คุณสามารถที่จะ แก้ไข สูตรคณิตศาสตร์ ใส่ฟังก์ชั่นถึง 1200 ฟังก์ชั่นได้อย่างง่ายๆ กราฟหรือชาร์ตทางฟิสิกส์,เคมีและคณิตศาสตร์ลงในเอกสาร MS Word

3. E-Learning
คำว่า e-Learning คือ การเรียน การสอนในลักษณะ หรือรูปแบบใดก็ได้ ซึ่งการถ่ายทอดเนื้อหานั้น กระทำผ่านทางสื่ออิเล็กทรอนิกส์ เช่น ซีดีรอม เครือข่ายอินเทอร์เน็ต อินทราเน็ต เอ็กซทราเน็ต หรือ ทางสัญญาณโทรทัศน์ หรือ สัญญาณดาวเทียม (Satellite) ฯลฯ เป็นต้น ซึ่งการเรียนลักษณะนี้ได้มีการนำเข้าสู่ตลาดเมืองไทยในระยะหนึ่งแล้ว เช่น คอมพิวเตอร์ช่วยสอนด้วยซีดีรอม, การเรียนการสอนบนเว็บ (Web-Based Learning), การเรียนออนไลน์ (On-line Learning) การเรียนทางไกลผ่านดาวเทียม หรือ การเรียนด้วยวีดีโอผ่านออนไลน์ เป็นต้น
   ในปัจจุบัน คนส่วนใหญ่มักจะใช้คำว่า e-Learning กับการเรียน การสอน หรือการอบรม ที่ใช้เทคโนโลยีของเว็บ (Web Based Technology) ในการถ่ายทอดเนื้อหา รวมถึงเทคโนโลยีระบบการจัดการหลักสูตร (Course Management System) ในการบริหารจัดการงานสอนด้านต่างๆ โดยผู้เรียนที่เรียนด้วยระบบ e-Learning นี้สามารถศึกษาเนื้อหาในลักษณะออนไลน์ หรือ จากแผ่นซีดี-รอม ก็ได้ และที่สำคัญอีกส่วนคือ เนื้อหาต่างๆ ของ e-Learning สามารถนำเสนอโดยอาศัยเทคโนโลยีมัลติมีเดีย (Multimedia Technology) และเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ (Interactive Technology)
   คำว่า e-Learning นั้นมีคำที่ใช้ได้ใกล้เคียงกันอยู่หลายคำเช่น Distance Learning (การเรียนทางไกล) Computer based training (การฝึกอบรมโดยอาศัยคอมพิวเตอร์ หรือเรียกย่อๆว่า CBT) online learning (การเรียนทางอินเตอร์เนต) เป็นต้น ดังนั้น สรุปได้ว่าความหมายของ e-Learning คือ รูปแบบของการเรียนรู้ด้วยตนเอง โดยอาศัยเครือข่ายคอมพิวเตอร์ หรือสื่ออิเลคทรอนิกส์ในการถ่ายทอดเรื่องราว และเนื้อหา โดยสามารถมีสื่อในการนำเสนอบทเรียนได้ตั้งแต่ 1 สื่อขึ้นไป และการเรียนการสอนนั้นสามารถที่จะอยู่ในรูปของการสอนทางเดียว หรือการสอนแบบปฎิสัมพันธ์ได้

          http://pay-ppp.blogspot.com/2009/08/blog-post_23.html (2253) ได้กล่าวว่า
สื่อการสอนคณิตศาสตร์แบ่งได้เป็น 3 ประเภท
1. สื่อการสอนประเภทวัสดุ สื่อการสอนคณิตศาสตร์ประเภทวัสดุแบ่งได้เป็น 2 พวก
1.1 วัสดุที่ใช้ประกอบกิจกรรมการเรียนการสอน เช่น กระดาษที่นำมาใช้ในกิจกรรมตัดกระดาษเพื่อหาพื้นที่ ของรูปทรง หาพื้นที่ผิวของกรอบ กิจกรรมพับกระดาษให้เป็นรูปทรงต่างๆ ฟิล์มเอ๊กซเรย์ที่ใช้แล้ว เพื่อใช้ในการสร้างรูปทรงสามมิติ เช่น ลูกบาศก์ ปิระมิด ปริซึม และรูปภาคตัดกรวย เชือก ถ่านไฟฉายและหลอดไฟ หลอดกาแฟ หรือลวดเพื่อใช้ในการสร้างรูปทรงสามมิติต่างๆ เป็นต้น วัสดุเหล่านี้เป็นวัสดุที่หาได้ง่ายและราคาไม่แพง โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิล์มเอ๊กซ์เรย์ที่ใช้แล้วสามารถนำมาประดิษฐ์เป็นอุปกรณ์ต่างๆ ได้มากมาย และสามารถขอได้จากโรงพยาบาลทั่วไป
1.2 วัสดุจำพวกสิ่งตีพิมพ์ เช่น แผนภูมิ กราฟ บัตรงาน เอกสาร ที่พิมพ์เกี่ยวกับแบบฝึกหัด
ปัญหาโจทย์หรือข้อสอบรวมทั้งตำราหนังสือแบบเรียนและแบบฝึกปฏิบัติคณิตศาสตร์ หนังสือเสริมทักษะ

2. สื่อการสอนประเภทอุปกรณ์
อุปกรณ์บวกลบคูณหารแบบเนเปียร์ แผ่นป้ายสำลี กระเป๋าผนัง กระดานตะปู นาฬิกาจำลอง กระดานเศษส่วน กระดานเส้นจำนวน ลูกบาศก์ และกล่องหาปริมาตรปริซึมต่างๆ ปิระมิดแบบต่างๆ ปริซึมฐานหลายเหลี่ยมบรรจุใน ปิระมิด เครื่องมือคิดเลขฐานสอง เครื่องทดลองความน่าจะเป็น เครื่องมือสอนทฤษฎีปิธากอรัส แบบต่างๆ เครื่องมือ วัดมุม วงกลมหนึ่งหน่วย ภาคตัดกรวย ชุดแผนภูมิประมาณพื้นที่ของวงกลม ชุดแผนภูมินำเสนอข้อมูล ชุดแผนประมาณความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม อุปกรณ์ชุดประมาณค่า อุปกรณ์แสดงปริมาตรของวงกลมโดยอาศัยความยาวของเชือก อุปกรณ์ชุดแยกตัวประกอบที่อยู่ในรูป ( ax + by )2 และ ( ax + by )3 โมโนกราฟ ภาพชุดของ นักคณิตศาสตร์เป็นต้น
อุปกรณ์เหล่านี้ส่วนหนึ่งใช้สาธิตให้ผู้เรียนได้เข้าใจถึงข้อเท็จจริง ส่วนหนึ่งเป็นเครื่องมือทดลองปฏิบัติ อุปกรณ์อีกพวกหนึ่งในกลุ่มนี้เป็นพวกที่ใช้ประกอบในการทดลองหรือการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ หรือใช้ในห้องปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ เช่น กรรไกร ที่ตัดกระดาษ ไม้ฉาก วงเวียน เครื่องมือเกี่ยวกับการเขียนตัวอักษร อุปกรณ์เหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นที่จะต้องมีไว้ในห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์

3. สื่อการสอนประเภทวิธีการ
สื่อการสอนประเภทวิธีการ ได้แก่ วิธีการที่จะทำให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้มโนทัศน์ต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ สื่อการสอนประเภทวิธีการซึ่งนำมาใช้ ได้แก่ วิธีการอุปมาน ( Inducton ) วิธีการอนุมาน ( Deduction ) และวิธีจัดกิจกรรมเสริมประสบการณ์
วิธีการอุปมาน ( Inducton )
วิธีการอุปมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีเฉพาะหรือข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน ภายใต้สภาพการณ์หรือเงื่อนไขอันหนึ่งออกมาเป็นผลสรุปทั่วไป ธรรมชาติของมนุษย์นั้น เมื่อได้สังเกตปรากฏการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ กันหลายครั้งเขาจะสรุปออกมาเป็นผลสรุป อย่างใดอย่างหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น เท่าที่พบเห็นมาดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก เขาจะสรุปว่าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ หรือเมื่อเห็นท้องฟ้ามืดคลุ้มด้วยเมฆ เขาจะถือร่มออกไปด้วย เพราะเท่าที่ผ่านมาในสภาพการณ์อย่างนั้นฝนมักจะตก เขาจึงสรุปว่าครั้งนี้ฝนคงตกด้วย หรือแม้แต่เด็กเล็ก ๆ เมื่อเห็นพ่อแม่แต่งตัวก็มักจะร้องไห้ เพราะเท่าที่เขาประสบมาสภาพการณ์อย่างนั้นจะเป็นจุดเริ่มที่พ่อแม่จากเขาไป หรือการที่นักสถิติได้รวบรวมข้อมูลต่าง ๆ ไว้ แล้วสรุปผลออกมาว่า จากข้อมูลเหล่านั้นสามารถบอกอะไรได้บ้างเหล่านี้เป็นต้น วิธีการให้ได้มาซึ่งผลสรุปในลักษณะนี้เรียกว่าวิธีอุปมาน นักคณิตศาสตร์ใช้วิธีอุปมานเป็นวิธีศึกษาค้นคว้าวิธีหนึ่งตั้งแต่สมัยโบราณมาแล้วในด้านการเรียนการสอนโดยวิธีอุปมานนั้น เป็นการให้ผู้เรียนได้มีประสบการณ์จากข้อมูลเฉพาะ หรือตัวอย่าง ที่มีลักษณะเฉพาะชุดหนึ่ง แล้วให้เขาสามารถสรุปออกมาเป็นข้อสรุปทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อเขาวัดมุมภายในของสามเหลี่ยมแล้วนำมารวมกันทั้งสามมุมจะได้ผลรวมเท่ากับ 180 องศา จะเป็นรูปสามเหลี่ยมรูปใด ๆ ก็ตาม มีขนาดด้านเท่าใดก็ตาม ผลรวมของมุมทั้งสามก็ยังคงเท่ากับ 180 องศาอยู่ เขาก็จะสรุปว่ามุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา เป็นต้น
วิธีการอนุมาน ( Deduction )
วิธีอนุมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีทั่วไป หรือข้อมูลทั่วไปออกมาเป็นกรณีเฉพาะ เป็นการสรุปจากเหตุชุดหนึ่งออกมาเป็นผล ซึ่งข้อสรุปนั้นจะต้องเป็นการสรุปที่สมเหตุสมผล ( Valid ) หรือเหตุบังคับให้เกิดผลในวิชาคณิตศาสตร์ เหตุที่นำมาสรุปนั้น ได้แก่พวก อนิยาม นิยาม กติกา หรือสัจพจน์รวมถึงทฤษฎีต่าง ๆ ที่รู้มาแล้ว หรือเงื่อนไขต่าง ๆ ที่กำหนดให้ออกมาเป็นผลสรุป ตัวอย่างเช่น
เหตุ 1) a > b
2) b > c
ผล a > c
สำหรับคณิตศาสตร์นั้นเป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องอยู่กับวิธีอนุมาน ( deductive science ) ซึ่งเป็นเรื่องของการให้เหตุผล การสรุปผลในแบบอนุมานเท่านั้น แต่ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ควรที่จะใช้วิธีอุปมานให้มาก คือให้ผู้เรียนได้คลุกคลี ได้มีประสบการณ์ด้านการสังเกต และการสรุปผลด้วยตนเอง
กิจกรรมเสริมประสบการณ์เรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
กิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นกิจกรรมให้ผู้เรียนได้คิดได้ทำ ได้มีประสบการณ์ เพื่อฝึกการคิดการให้เหตุผล ฝึกการสร้าง การประดิษฐ์ โดยอาศัยหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์และเพื่อการสันทนาการ กิจกรรมประเภทนี้มีมากมาย ตัวอย่างเช่น เกมและปริศนาในทางคณิตศาสตร์ กิจกรรมการพับกระดาษ กิจกรรมสร้างรูปโดยใช้หลักการสมมาตร กิจกรรมการสร้างรูปทรงโดยใช้หลอดกาแฟ หรือลวด เป็นต้น สำหรับเกมนั้นมีมากมายทั้งที่ขายในท้องตลาด ซึ่งเป็นพวกชุดเกมต่าง ๆ และเกมที่มีในหนังสือรวมเกมต่าง ๆการจัดกิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ อาจจะจัดเป็นโครงการเช่น การจัดนิทรรศการทางคณิตศาสตร์ การศึกษานอกสถานที่ การแข่งขันตอบปัญหาทางคณิตศาสตร์ การจัดตั้งชมรมหรือชุมนุมคณิตศาสตร์ การจัดทำวารสารคณิตศาสตร์ เป็นต้น

สรุป สื่อ นวัตกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์
           จากข้อมูลที่ได้ศึกษาสามารถสรุปได้ว่า สื่อการสอนคณิตศาสตร์แบ่งได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้
สื่อการสอนประเภทวัสดุ แบ่งได้เป็น 2 พวก
1.วัสดุที่ใช้ประกอบกิจกรรมการเรียนการสอน เป็นวัสดุที่นำมาทำเป็นรูปทรงต่าง ๆ เพื่อใช้ประกอบการเรียนการสอน เช่น กระดาษที่นำมาใช้ในกิจกรรมตัดกระดาษเพื่อหาพื้นที่ กิจกรรมพับกระดาษให้เป็นรูปทรงต่างๆ

2. วัสดุจำพวกสิ่งตีพิมพ์ เช่น เอกสารที่พิมพ์เกี่ยวกับแบบฝึกหัด ปัญหาโจทย์หรือข้อสอบรวมทั้งตำราหนังสือแบบเรียนและแบบฝึกปฏิบัติคณิตศาสตร์ หนังสือเสริมทักษะ2. สื่อการสอนประเภทอุปกรณ์

เป็นอุปกรณ์ที่ครูจะต้องมีสำหรับการสอนทุกครั้ง เพราะจะสามารถช่วยให้นักเรียนมองเห็นภาพได้ชัดเจน เกิดความเข้าใจได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น กระดานตะปู นาฬิกาจำลอง กระดานเศษส่วน กระดานเส้นจำนวน ลูกบาศก์ และกล่องหาปริมาตรปริซึมต่างๆ ปิระมิดแบบต่างๆ ปริซึมฐานหลายเหลี่ยมบรรจุในปิระมิด

3. สื่อการสอนประเภทวิธีการ
สื่อการสอนประเภทวิธีการ คือ วิธีการที่จะทำให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้มโนทัศน์ต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ สื่อการสอนประเภทวิธีการซึ่งนำมาใช้ มีดังนี้

วิธีการอุปมาน ( Inducton )

วิธีการอุปมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีเฉพาะหรือข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน ภายใต้เงื่อนไขอันหนึ่งออกมาเป็นผลสรุปทั่วไป ตัวอย่างเช่น เมื่อเห็นท้องฟ้ามืดคลุ้มด้วยเมฆ เราจะถือร่มออกไปด้วย เพราะเท่าที่ผ่านมาในสภาพการณ์อย่างนั้นฝนมักจะตก จึงสรุปว่าครั้งนี้ฝนคงตกด้วย ในด้านการเรียนการสอนโดยวิธีอุปมาน จึงเป็นการให้ผู้เรียนได้มีประสบการณ์จากข้อมูลเฉพาะ แล้วสามารถสรุปออกมาเป็นข้อสรุปทั่วไปได้

วิธีการอนุมาน ( Deduction )

วิธีอนุมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีทั่วไป หรือข้อมูลทั่วไปออกมาเป็นกรณีเฉพาะ เป็นการสรุปจากเหตุชุดหนึ่งออกมาเป็นผล ซึ่งข้อสรุปนั้นจะต้องเป็นการสรุปที่สมเหตุสมผล ( Valid ) หรือเหตุบังคับให้เกิดผลในวิชาคณิตศาสตร์ เหตุที่นำมาสรุปนั้น ได้แก่พวก อนิยาม นิยาม กติกา หรือสัจพจน์รวมถึงทฤษฎีต่าง ๆในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ควรที่จะใช้วิธีอุปมานให้มาก คือให้ผู้เรียนได้
คลุกคลี ได้มีประสบการณ์ด้านการสังเกต และการสรุปผลด้วยตนเอง
กิจกรรมเสริมประสบการณ์เรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
กิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นกิจกรรมให้ผู้เรียนได้คิดได้ทำ ได้มีประสบการณ์ เพื่อฝึกการคิดการให้เหตุผล ฝึกการสร้าง การประดิษฐ์ โดยอาศัยหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ กิจกรรมอาจจะจัดเป็นรูปแบบของโครงการต่าง ๆ เช่น การจัดนิทรรศการทางคณิตศาสตร์ การแข่งขั้นตอบปัญหาทางคณิตศาสตร์ หรือการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการเล่นเกมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งถือว่าเป็นกิจกรรมที่นักเรียนชอบและช่วยดึงดูดความสนใจให้นักเรียนมาร่วมทำกิจกรรมเป็นอย่างมาก กิจกรรมเหล่านี้จะฝึกให้นักเรียนมีความคิดสร้างสรรค์ มีมนุษยสัมพันธ์กับผู้อื่นได้ดี มีการฝึกการแก้ปัญหาหลาย ๆ แนวทาง มีการนำความรู้ที่มีอยู่มาใช้ และทำให้ได้รับประสบการณ์และความรู้ใหม่ ๆ ที่เป็นประโยชน์แก่ตัวนักเรียนเอง

ที่มา         
Roopngam. (2553). http://pay-ppp.blogspot.com/2009/08/blog-post_23.html. [Online] เข้าถึงเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม พ.ศ.2561.
ครูมืออาชีพ. (2553). http://teaching-maths3.blogspot.com/2010/07/blog-post_1999.html. [Online] เข้าถึงเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม พ.ศ.2561.

จุฑาทิพ. (2558). http://mamay3naja.wixsite.com/jutatip305/services1. [Online] เข้าถึงเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม พ.ศ.2561.

การจัดการเรียนรู้แบบ Backward Design (BwD)

                http://www.kruupdate.com/news/newid-1024.html กล่าวถึงการออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward Design (BwD) ว่า

                การจัดการเรียนรู้หรือการสอนเป็นงานที่ครูทุกคนต้องใช้กลวิธีต่าง ๆ มากมายเพื่อให้นักเรียนสนใจที่จะเรียนรู้และเกิดผลตามที่ครูคาดหวัง    การจัดการเรียนรู้จัดเป็นศาสตร์ที่ต้องใช้ความรู้ความสามารถ ตลอดจนประสบการณ์อย่างมาก ครูบางคนอาจจะละเลยเรื่องของการออกแบบการจัดการเรียนรู้หรือการออกแบบการสอน ซึ่งเป็นงานที่ครูจะต้องทำก่อนการเขียนแผนการจัดการเรียนรู้ การออกแบบการจัดการเรียนรู้ทำอย่างไร ทำไมจึงต้องออกแบบการจัดการเรียนรู้ ครูทุกคนผ่านการศึกษาและได้เรียนรู้เกี่ยวกับการออกแบบการจัดการเรียนรู้มาแล้ว ในอดีตการออกแบบการจัดการเรียนรู้จะเริ่มต้นจากการกำหนดจุดประสงค์การเรียนรู้ การวางแผนการจัดการเรียนรู้ การดำเนินการจัดการเรียนรู้ และการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ ปัจจุบันการเรียนรู้ได้มีการเปลี่ยนแปลงไปตามสภาพแวดล้อม เศรษฐกิจ และสังคม รวมทั้งการเปลี่ยนแปลงด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่เข้ามามีบทบาทต่อการเรียนรู้ของนักเรียน ซึ่งนักเรียนสามารถเรียนรู้ได้จากสื่อและแหล่งเรียนรู้ต่าง ๆ ที่มีอยู่รอบตัว ดังนั้นการออกแบบการจัดการเรียนรู้จึงเป็นกระบวนการสำคัญที่ครูจำเป็นต้องดำเนินการให้เหมาะสมกับศักยภาพของนักเรียนแต่ละคน

วิกกินส์และแมกไท นักการศึกษาชาวอเมริกันได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับการออกแบบการจัดการเรียนรู้ ซึ่งเขาเรียกว่า Backward Design ซึ่งเป็นการออกแบบการจัดการเรียนรู้ที่ครูจะต้องกำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียนก่อน โดยเขาทั้งสองให้ชื่อว่า ความเข้าใจที่คงทน (Enduring Understandings) เมื่อกำหนดความเข้าใจที่คงทนได้แล้ว ครูจะต้องบอกให้ได้ว่าความเข้าใจที่คงทนของนักเรียนนี้เกิดจากอะไร นักเรียนจะต้องมีหรือแสดงพฤติกรรมอะไรบ้าง ครูมีหรือใช้วิธีการวัดอะไรบ้างที่จะบอกว่านักเรียนมีหรือแสดงพฤติกรรมเหล่านั้นแล้ว จากนั้นครูจึงนึกถึงวิธีการจัดการเรียนรู้ที่จะทำให้นักเรียนเกิดความเข้าใจที่คงทนต่อไป

แนวคิดของ Backward Design

Backward Design เป็นการออกแบบการจัดการเรียนรู้ที่ใช้ผลลัพธ์ปลายทางเป็นหลัก ซึ่งผลลัพธ์ปลายทางนี้จะเกิดขึ้นกับนักเรียนก็ต่อเมื่อจบหน่วยการเรียนรู้ ทั้งนี้ครูจะต้องออกแบบการจัดการเรียนรู้ โดยใช้กรอบความคิดที่เป็นเหตุเป็นผลมีความสัมพันธ์กัน จากนั้นจึงจะลงมือเขียนแผนการจัดการเรียนรู้ ขยายรายละเอียดเพิ่มเติมให้มีคุณภาพและประสิทธิภาพต่อไป

กรอบความคิดหลักของการออกแบบการจัดการเรียนรู้โดย Backward Design มีขั้นตอนหลักที่สำคัญ 3 ขั้นตอน คือ

ขั้นที่ 1 กำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียน

ขั้นที่ 2 กำหนดภาระงานและการประเมินผลการเรียนรู้ซึ่งเป็นหลักฐานที่แสดงว่านักเรียนมีผลการเรียนรู้ตามที่กำหนดไว้อย่างแท้จริง

ขั้นที่ 3 วางแผนการจัดการเรียนรู้

ขั้นที่ 1 กำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียน

ก่อนที่จะกำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียนนั้น ครูควรตอบคำถามสำคัญต่อไปนี้

1.  นักเรียนควรจะมีความรู้ ความเข้าใจ และสามารถทำสิ่งใดได้บ้าง

2.  เนื้อหาสาระใดบ้างที่มีความสำคัญต่อการสร้างความเข้าใจของนักเรียนและความเข้าใจที่คงทน

     (Enduring Understandings) ที่ครูต้องการจัดการเรียนรู้ให้แก่นักเรียนมีอะไรบ้าง

เมื่อจะตอบคำถามสำคัญดังกล่าวข้างต้น ให้ครูนึกถึงเป้าหมายของการศึกษา มาตรฐานการเรียนรู้ด้านเนื้อหาระดับชาติที่ปรากฏอยู่ในหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 รวมทั้งมาตรฐานการเรียนรู้ระดับเขตพื้นที่การศึกษาหรือท้องถิ่น การทบทวนความคาดหวังของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน เนื่องจากมาตรฐานแต่ละระดับจะมีความสัมพันธ์กับเนื้อหาสาระต่าง ๆ ซึ่งมีความแตกต่างลดหลั่นกันไป ด้วยเหตุนี้ขั้นที่ 1 ของ Backward Design ครูจึงต้องจัดลำดับความสำคัญและเลือกผลลัพธ์ปลายทางของนักเรียน ซึ่งเป็นผลการเรียนรู้ที่เกิดจากความเข้าใจที่คงทนต่อไป

ความเข้าใจที่คงทนของนักเรียน

ความเข้าใจที่คงทนคืออะไร ความเข้าใจที่คงทนเป็นความรู้ที่ลึกซึ้ง ได้แก่ ความคิดรวบยอด ความสัมพันธ์ และหลักการของเนื้อหาและวิชาที่นักเรียนเรียนรู้ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นความรู้ที่อิงเนื้อหา ความรู้นี้เกิดจากการสะสมข้อมูลต่าง ๆ ของนักเรียนและเป็นองค์ความรู้ที่นักเรียนสร้างขึ้นด้วยตนเอง

การเขียนความเข้าใจที่คงทนในการออกแบบการจัดการเรียนรู้

ถ้าความเข้าใจที่คงทน หมายถึง สาระสำคัญของสิ่งที่จะเรียนรู้แล้ว ครูควรจะรู้ว่าสาระสำคัญหมายถึงอะไร คำว่า สาระสำคัญ มาจากคำว่า Concept ซึ่งนักการศึกษาของไทยแปลเป็นภาษาไทยว่า สาระสำคัญ ความคิดรวบยอด มโนทัศน์ มโนมติ และสังกัป ซึ่งการเขียนแผนการจัดการเรียนรู้นิยมใช้คำว่า สาระสำคัญ

สาระสำคัญเป็นข้อความที่แสดงแก่นหรือเป้าหมายเกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง เพื่อให้ได้ข้อสรุปรวมและข้อแตกต่างเกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง โดยอาจครอบคลุมข้อเท็จจริง  กฎ  ทฤษฎี  ประเด็น และการสรุปสาระสำคัญและข้อความที่มีลักษณะรวบยอดอย่างอื่น

ประเภทของสาระสำคัญ

1. ระดับกว้าง  (Broad Concept)

ตัวอย่างสาระสำคัญระดับกว้าง

             - การจำแนกรูปเรขาคณิต ใช้วิธีพิจารณาขอบของรูป

2. ระดับการนำไปใช้  (Operative Concept หรือ Functional Concept)

ตัวอย่างสาระสำคัญระดับนำไปใช้

- รูปเรขาคณิตสามารถจำแนกโดยพิจารณาขอบของรูป เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม

รูปวงรี

แนวทางการเขียนสาระสำคัญ

1. ให้เขียนสาระสำคัญของทุกเรื่อง โดยแยกเป็นข้อ ๆ (จำนวนข้อของสาระสำคัญจะเท่ากับจำนวนเรื่อง)

2. การเขียนสาระสำคัญที่ดีควรเป็นสาระสำคัญระดับการนำไปใช้

3. สาระสำคัญต้องครอบคลุมประเด็นสำคัญครบถ้วน เพราะหากขาดส่วนใดไปแล้วจะทำให้นักเรียนรับสาระสำคัญที่ผิดไปทันที

4. การเขียนสาระสำคัญที่จะให้ครอบคลุมประเด็นสำคัญวิธีการหนึ่งคือ การเขียนแผนผัง

สาระสำคัญของการจำแนกรูปเรขาคณิตสามารถจำแนกโดยพิจารณาขอบของรูป ได้แก่

                                              • สามเหลี่ยม เป็นรูปที่มีด้าน 3 ด้าน และมีมุม 3 มุม 

                                              • รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปที่มีด้านสี่ด้านจดกัน และมีมุม 4 มุม  

                                              • รูปวงกลมเป็นรูปที่ไม่มีด้านและไม่มีมุม และมีเส้นรอบวงยาวจากจุดศูนย์เท่ากัน

                              • รูปวงรีเป็นรูปที่ไม่มีด้าน ไม่มีมุม คล้ายรูปวงกลมแต่มีลักษณะรี และมีเส้นรอบวงยาวจากจุดศุนย์กลางไม่เท่ากัน

5. การเขียนสาระสำคัญเกี่ยวกับเรื่องใดควรเขียนลักษณะเด่นที่มองเห็นได้หรือนึกได้ออกมาเป็นข้อ ๆ  แล้วจำแนกลักษณะเหล่านั้นเป็นลักษณะจำเพาะและลักษณะประกอบ

6. การเขียนข้อความที่เป็นสาระสำคัญ ควรใช้ภาษาที่มีการขัดเกลาอย่างดี  เลี่ยงคำที่มีความหมายกำกวมหรือฟุ่มเฟือย

ขั้นที่ 2 กำหนดภาระงานและการประเมินผลการเรียนรู้ซึ่งเป็นหลักฐานที่แสดงว่า

        นักเรียนมีผลการเรียนรู้ตามที่กำหนดไว้อย่างแท้จริง

เมื่อครูกำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียนแล้ว ก่อนที่จะดำเนินการขั้นต่อไปขอให้ครูตอบคำถามสำคัญต่อไปนี้

- นักเรียนมีพฤติกรรมหรือแสดงออกในลักษณะใด จึงทำให้ครูทราบว่า นักเรียนบรรลุผลลัพธ์ปลายทางตามที่กำหนดไว้แล้ว

- ครูมีหลักฐานหรือใช้วิธีการใดที่สามารถระบุได้ว่านักเรียนมีพฤติกรรมหรือแสดงออกตามผลลัพธ์ปลายทางที่กำหนดไว้

การออกแบบการจัดการเรียนรู้ตามหลักการของ Backward Design เน้นให้ครูรวบรวมหลักฐานการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ที่จำเป็นและมีหลักฐานเพียงพอที่จะกล่าวได้ว่า การจัดการเรียนรู้ทำให้นักเรียนเกิดผลสัมฤทธิ์แล้วไม่ใช่เรียนแค่ให้จบตามหลักสูตรหรือเรียนตามชุดของกิจกรรมการเรียนรู้ที่ครูกำหนดไว้เท่านั้น วิธีการของ Backward Design ต้องการกระตุ้นให้ครูคิดล่วงหน้าว่า ครูควรจะกำหนดและรวบรวมหลักฐานเชิงประจักษ์อะไรบ้างก่อนที่จะออกแบบหน่วยการเรียนรู้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักฐานดังกล่าวควรจะเป็นหลักฐานที่สามารถใช้เป็นข้อมูลย้อนกลับที่มีประโยชน์สำหรับผู้เรียนและครูได้เป็นอย่างดี นอกจากนี้ครูควรใช้วิธีการวัดและประเมินแบบต่อเนื่องอย่างไม่เป็นทางการและเป็นทางการ ตลอดระยะเวลาที่ครูจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้แก่นักเรียน ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดที่ต้องการให้ครูทำการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ระหว่างการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่เรียกว่า สอนไปวัดผลไป

จึงกล่าวได้ว่าขั้นนี้ ครูควรนึกถึงพฤติกรรมหรือการแสดงออกของนักเรียน โดยพิจารณาจากผลงานหรือชิ้นงานที่เป็นหลักฐานเชิงประจักษ์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่านักเรียนเกิดผลลัพธ์ปลายทางตามเกณฑ์ที่กำหนดไว้แล้วและเกณฑ์ที่ใช้ประเมินควรเป็นเกณฑ์คุณภาพในรูปของมิติคุณภาพ (Rubrics) อย่างไรก็ตามครูอาจจะมีหลักฐานหรือใช้วิธีการอื่น ๆ เช่น การทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน การสัมภาษณ์ การศึกษาค้นคว้า การฝึกปฏิบัติขณะเรียนรู้ประกอบด้วยก็ได้

การกำหนดภาระงานและการประเมินผลการเรียนรู้ซึ่งเป็นหลักฐานที่แสดงว่านักเรียนมีผลการเรียนรู้ตามผลลัพธ์ปลายทางที่กำหนดไว้แล้ว

หลังจากที่ครูได้กำหนดผลลัพธ์ปลายทางที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียนแล้ว ครูควรกำหนดภาระงานและวิธีการประเมินผลการเรียนรู้ ซึ่งเป็นหลักฐานที่แสดงว่านักเรียนมีผลการเรียนรู้ตามผลลัพธ์ปลายทางที่กำหนดไว้แล้ว

ภาระงาน หมายถึง งานหรือกิจกรรมที่กำหนดให้นักเรียนปฏิบัติ เพื่อให้บรรลุตามจุดประสงค์การเรียนรู้/ตัวชี้วัดชั้นปี/มาตรฐานการเรียนรู้ที่กำหนดไว้ ลักษณะสำคัญของงานจะต้องเป็นงานที่สอดคล้องกับชีวิตจริงในชีวิตประจำวัน เป็นเหตุการณ์จริงมากกว่ากิจกรรมที่จำลองขึ้นเพื่อใช้ในการทดสอบ ซึ่งเรียกว่า งานที่ปฏิบัติเป็นงานที่มีความหมายต่อผู้เรียน (Meaningful Task) นอกจากนี้งานและกิจกรรมจะต้องมีขอบเขตที่ชัดเจน สอดคล้องกับจุดประสงค์การเรียนรู้/ตัวชี้วัดชั้นปี/มาตรฐานการเรียนรู้ที่ต้องการให้เกิดขึ้นกับนักเรียน

ทั้งนี้เมื่อได้ภาระงานครบถ้วนตามที่ต้องการแล้ว ครูจะต้องนึกถึงวิธีการและเครื่องมือที่จะใช้วัดและประเมินผลการเรียนรู้ของนักเรียนซึ่งมีอยู่มากมายหลายประเภท ครูจะต้องเลือกให้เหมาะสมกับภาระงานที่นักเรียนปฏิบัติ

                https://www.gotoknow.org/posts/224435 กล่าวถึงการออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward Design (BwD) ว่า

                การออกแบบการเรียนรู้แบบ  Backward Design นั้น   เป็นแนวคิดของ  Grant Wiggins และ   Jay McTich   ซึ่งคิดค้นเมื่อปี พ.ศ. 2541 (ค.ศ. 1998)   โดยเขียนหนังสือเรื่อง Understanding by Design   นักวิชาการชาวไทยที่นำมาพัฒนาเผยแพร่ คือ ดร.กษมา  วรวรรณ ณ อยุธยา, ดร.เพ็ญนี  หล่อวัฒนพงษา    การออกแบบการเรียนรู้แบบ  Backward Design เป็นที่นิยมของโรงเรียนนานาชาติ ได้เผยแพร่เป็นที่รู้จักในวงการศึกษาไทยจากการอบรมปฏิบัติการครูผู้นำการเปลี่ยนแปลงเพื่อรองรับการกระจายอำนาจสู่สถานศึกษา ในช่วงเดือนเมษายนถึงเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2550 นอกจากนี้ ดอกเตอร์โกวิท  ประวาลพฤกษ์ ผู้อำนวยการสถาบันพัฒนาคุณภาพวิชาการ (พว) ได้จัดอบรมให้แก่โรงเรียนต่าง ๆ ภายใต้หัวข้อการอบรมเรื่องการออกแบบการเรียนรู้แบบย้อนกลับ  Backward Design

                การออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward Design เป็นการออกแบบการเรียนรู้ที่ย้อนกลับ เริ่มต้นจากปลายทางที่ผลผลิตที่ต้องการ โดยนำการวัดผลมาเป็นหลัก จากนั้นจึงออกแบบหลักสูตรและแผนการเรียนการสอน

                 ขั้นตอนการออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward Design มี 3 ขั้นตอน คือ

ขั้นตอนที่ 1 ออกแบบหน่วยการเรียนรู้หรือประเด็นการเรียนรู้หรือเป้าหมายการเรียนรู้

ขั้นตอนที่ 2 จัดทำผังการประเมินหรือวิเคราะห์ร่องรอยผลงานที่จะเกิดขึ้นกับผู้เรียน(หาหลักฐานการเรียนรู้)

ขั้นตอนที่ 3 ออกแบบการเรียนรู้

ตัวอย่างแผนการสอน

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5

จำนวนเต็ม

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์                    ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1                           ภาคเรียนที่ 1

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 จำนวนเต็ม                                                                                     เวลา 1 ชั่วโมง

1. สาระสำคัญ

         จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ประเภทคือ จำนวนเต็มบวก ศูนย์และจำนวนเต็มลบ ซึ่งจำนวนเต็ม

บวกหรือจำนวนนับ ได้แก่ 1, 2, 3, ... ศูนย์ ได้แก่ 0 และจำนวนเต็มลบ ได้แก่ –1, –2, –3, ...

2. ตัวชี้วัดชั้นปี

1.   ระบุหรือยกตัวอย่าง และเปรียบเทียบจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ศูนย์ เศษส่วน และ         ทศนิยม  (ค 1.1  ม. 1/1)

 2. บวก ลบ คูณ หารจำนวนเต็ม และนำไปใช้แก้ปัญหา ตระหนักถึงความ สมเหตุสมผลของคำตอบอธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณ การหาร และบอกความสัมพันธ์ของ การบวกกับ การลบ การคูณ กับ การหารของจำนวนเต็ม (ค 1.2  ม. 1/1)

 3.  นำความรู้และสมบัติเกี่ยวกับจำนวนเต็มไปใช้ในการแก้ปัญหา (ค 1.4  ม. 1/1)

 4. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา (ค 6.1  ม. 1/1)

 5. ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม (ค 6.1  ม. 1/2)

 6. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม (ค 6.1  ม. 1/3)

 7. ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนำเสนอ ได้อย่างถูกต้อง และชัดเจน (ค 6.1  ม. 1/4)

 8. เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนำความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ (ค 6.1  ม. 1/5)

 9. มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ (ค 6.1  ม. 1/6)

3. จุดประสงค์การเรียนรู้

         1. ระบุหรือยกตัวอย่างจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์ได้ (K)

          2. ทำงานเป็นระเบียบเรียบร้อย รอบคอบ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง (A)

          3. การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย การนำเสนอและการเชื่อมโยงหลักการความรู้

             ทางคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น (P)

4. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

ด้านความรู้ (K)

วิธีการวัดผลและการประเมินผล	เครื่องมือวัดและประเมินผล	เกณฑ์การวัด
1. ตรวจผลการทำแบบทดสอบก่อน	– แบบทดสอบก่อนเรียน	–
เรียน
2. สังเกตจากการซักถาม การแสดง	– แบบบันทึกผลการอภิปราย	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
ความคิดเห็น การให้ข้อเสนอแนะ	– แบบบันทึกความรู้
และการอภิปรายร่วมกัน
3. ตรวจผลการปฏิบัติตาม	–  กิจกรรมฝึกทักษะ 2.1	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
กิจกรรมฝึกทักษะ 2.1

ด้านคุณธรรม จริยธรรม และค่านิยม (A)

วิธีการวัดผลและการประเมินผล	เครื่องมือวัดและประเมินผล	เกณฑ์การวัด
1. สังเกตพฤติกรรมขณะทำงาน	– แบบประเมินพฤติกรรมขณะ	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
ร่วมกับกลุ่ม	ทำงานร่วมกับกลุ่ม
2. ประเมินพฤติกรรมตามรายการ	– แบบประเมินด้านคุณธรรม	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
ด้านคุณธรรม จริยธรรม	จริยธรรม และค่านิยม
และค่านิยม

ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)

วิธีการวัดผลและการประเมินผล	เครื่องมือวัดและประเมินผล	เกณฑ์การวัด
1. สังเกตพฤติกรรมการสื่อสาร	– แบบประเมินด้านทักษะ/	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
การเชื่อมโยงหลักการความรู้	กระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์
2. ประเมินพฤติกรรมตามรายการ
ประเมินด้านทักษะ/กระบวนการ
3. สังเกตขณะปฏิบัติตาม	– กิจกรรมฝึกทักษะ 2.1	ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3 ขึ้นไป
กิจกรรมฝึกทักษะ 2.1

5. สาระการเรียนรู้

             จำนวนเต็ม

6. แนวทางบูรณาการ

            ภาษาไทย                           ตอบคำถามแสดงความคิดเห็น และอภิปรายจำนวนเต็มบวก จำนวน เต็มลบ ศูนย์

            สุขศึกษาฯ                         เล่นเกมจับคู่บัตรจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ศูนย์

            ศิลปะ                                 ออกแบบบัตรจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ศูนย์ ได้อย่างสวยงามและสร้างสรรค์

            การงานอาชีพฯ                ประดิษฐ์ของใช้ที่มีแนวความคิดตามเนื้อหาจำนวนเต็มจากเศษวัสดุเหลือใช้

7. กระบวนการจัดการเรียนรู การออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward Design (BwD)

ขั้นที่ 1 นำเข้าสู่บทเรียน

                1. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน  จำนวน 25 ข้อ (25 คะแนน)

                2. ครูแจ้งจุดประสงค์การเรียนรู้

                3. ครูให้นักเรียนนับเลข 1–20 พร้อม ๆ กัน

ขั้นที่ 2 กิจกรรมการเรียนรู้

                1. ครูอธิบายว่าจำนวนที่นักเรียนนับ คือ 1–20 เรียกว่า จำนวนเต็มบวก แล้วตั้งคำถาม

                   เช่น

                                1) จำนวน 20–100 เรียกว่า จำนวนเต็มบวกหรือไม่ เพราะอะไร

                                2) จำนวน 100, 101, 102, ... เรียกว่าจำนวนอะไร ครูตั้งคำถามเพิ่มเติมจน

                                    นักเรียนเข้าใจเกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก

                2. ให้นักเรียนนับจำนวนลดทีละ 1 จากจำนวน 2 ลงไปและครูอธิบายเพิ่มเติม เช่น

                    จำนวนหลัง 0 จะให้เป็น –1, –2, –3, … เรียกจำนวนเหล่านี้ว่าจำนวนเต็มลบ

                    ส่วนจำนวนที่อยู่ระหว่าง 1 และ –1 เรียกว่า ศูนย์

                3. ครูเขียนเส้นจำนวนบนกระดาน (มีแค่เส้นและสเกลแต่ไม่ระบุจำนวน)

                4. สุ่มนักเรียนให้เติมจำนวนเต็มตามสเกลต่าง ๆ ของเส้นจำนวน ครูตั้งคำถามเพื่อให้

           นักเรียนเข้าใจในเรื่องจำนวนเต็ม เช่น

                                1) เส้นจำนวนนี้มีจำนวนเต็มอะไรบ้าง

                                2) จำนวนเต็มแต่ละจำนวนห่างกันเท่าไร

                                3) จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์ ควรเรียกรวมว่าอย่างไร

                                4) สรุปได้ว่าจำนวนเต็มแบ่งออกเป็นกี่ประเภท อะไรบ้าง

                5. ให้นักเรียนทำกิจกรรมดังนี้

                                1) ครูแจกบัตรจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน ฯลฯ ให้นักเรียนคนละ 1–2 ใบ

                                2) ครูตั้งคำถามเพื่อให้นักเรียนปฏิบัติตาม เช่น

                                                – ฉันเป็นจำนวนเต็มบวก ฉันอยู่ไหน?

                                                – ฉันเป็นจำนวนเต็มลบ ฉันอยู่ไหน ?

                                                – ฉันคือ ศูนย์ ฉันอยู่ไหน?

                                                – ฉันไม่ใช่จำนวนเต็ม ฉันอยู่ไหน?

                                                ฯลฯ

                                3) นักเรียนปฏิบัติตามคำถามของครู โดยการยืนขึ้นและชูบัตรที่เกี่ยวข้องกับคำถาม

                                4) ครูทำการตรวจสอบคำตอบที่นักเรียนลุกขึ้นแต่ละครั้งด้วย

ขั้นที่ 3 ฝึกฝนผู้เรียน

                1. ให้นักเรียนทำกิจกรรมฝึกทักษะ 2.1 ข้อ 1–2 หน้า 23 หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 (บริษัท สำนักพิมพ์วัฒนาพานิช จำกัด)

                2. นักเรียนร่วมกันอภิปรายเฉลยกิจกรรมฝึกทักษะ 2.1 ข้อ 1–2 หน้า 23 หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 (บริษัท สำนักพิมพ์วัฒนาพานิช จำกัด) โดยครูให้ความช่วยเหลือ และแนะนำ

ขั้นที่ 4 การนำไปใช้

นักเรียนและครูร่วมกันสนทนาเพื่อนำเข้าสู่จำนวนเต็ม โดยนำสิ่งที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวันมาอภิปราย เช่น เปรียบเทียบการเติมน้ำมันรถยนต์ของลุงแดงกับลุงดำ

ขั้นที่ 5 สรุปความคิดรวบยอด

                นักเรียนช่วยกันสรุปบทเรียน เรื่องจำนวนเต็ม

8. กิจกรรมเสนอแนะ

                แบ่งกลุ่มนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4–5 อภิปรายหัวข้ออะไรคือจำนวนเต็ม แล้วนำเสนอผลการอภิปรายหน้าชั้นเรียน

9. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้

                1. บัตรจำนวนเต็ม ทศนิยม เศษส่วน ฯลฯ

                2. หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม. 1 เล่ม 1 (บริษัท สำนักพิมพ์ วัฒนาพานิช

           จำกัด)

          แหล่งการเรียนรูเพิ่มเติม

                1. หนังสือเสริมความรู้คณิตศาสตร์

                2. บุคคลต่าง ๆ เช่น ครู เพื่อน ญาติ ผู้รู้ด้านคณิตศาสตร์

                3. อินเทอร์เน็ต ข้อมูลในการศึกษาเรื่อง จำนวนเต็ม 

10. บันทึกหลังการจัดการเรียนรู้

1. ความสำเร็จในการจัดการ_________________________________________________     

   แนวทางการพัฒนา_____________________________________________________            

2. ปัญหา/อุปสรรค ในการจัดการเรียนรู้_________________________________________        

   แนวทางแก้ไข_________________________________________________________

3. สิ่งที่ไม่ได้ปฏิบัติตามแผน_________________________________________________

   เหตุผล_____________________________________________________________

4. การปรับปรุงแผนการจัดการเรียนรู้ __________________________________________

   __________________________________________________________________

                                         ลงชื่อ __________________________ ผู้สอน

                                               _______ / ________ / ________

สรุป

          กล่าวโดยสรุปแล้ว Backward  Design เป็นกระบวน

การออกแบบการเรียนรู้ที่นำ

  มาตรฐานการเรียนรู้มาเป็นเป้าหมายการจัดการเรียนการสอน โดยที่ครูผู้สอนจะต้องออกแบบวางแผน

  กำหนดหลักฐานการเรียนรู้ที่จะแสดงให้เห็นว่าผู้เรียนสามารถบรรลุซึ่งจุดหมายหลักสูตรรายวิชานั้นๆ

  และนอกจากนั้นครูผู้สอนจะต้องออกแบบประสบการณ์การเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียนมีความรู้ มีทักษะและ

  แสดงความสามารถ ตามหลักฐานที่เป็นผลจากการเรียนรู้ของผู้เรียนที่กำหนดไว้

  การออกแบบการเรียนรู้แบบ Backward  Design  ที่ได้หยิบยกมาแลกเปลี่ยนความรู้   เป็นเพียงส่วนหนึ่งของเนื้อหา  ยังคงมีรายละเอียดอีกมากมายให้ศึกษา เช่น รูปแบบการประเมินผู้เรียน    ในแต่ละวงของการออกแบบการเรียนรู้ในขั้นที่ 1   เทคนิคการใช้คำถามของผู้สอน และอื่นๆอีกมากมาย  ที่จะให้ท่านร่วมเติมเต็มความสมบูรณ์

ที่มา

ธนสาร  บัลลังก์ปัทมา. (2550). https://www.gotoknow.org/posts/224435. [ออนไลน์] เข้าถึงเมื่อวันที่ 13 สิงหาคม 2561.

สุระ  ดามาพงษ์. (2551). http://www.kruupdate.com/news/newid-1024.htm. [ออนไลน์] เข้าถึงเมื่อวันที่ 13 สิงหาคม 2561.